逻辑回归

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逻辑回归

1,广义线性回归到逻辑回归

1.1,什么是逻辑回归

  逻辑回归不是一个回归的算法，逻辑回归是一个分类的算法，好比卡巴斯基不是司机，红烧狮子头没有狮子头一样。 那为什么逻辑回归不叫逻辑分类？因为逻辑回归算法是基于多元线性回归的算法。而正因为此，逻辑回归这个分类算法是线性的分类器。未来我们要学的基于决策树的一系列算法，基于神经网络的算法等那些是非线性的算法。SVM 支持向量机的本质是线性的，但是也可以通过内部的核函数升维来变成非线性的算法。

  逻辑回归中对应一条非常重要的曲线S型曲线，对应的函数是Sigmoid函数：

$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

它有一个非常棒的特性，其导数可以用其自身表示：

$f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} =f(x) * \frac{1 + e^{-x} - 1}{1 + e^{-x}} = f(x) * (1 - f(x))$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def sigmoid(x):
    return 1/(1 + np.exp(-x))
x = np.linspace(-5,5,100)
y = sigmoid(x)
plt.plot(x,y,color = 'green')

1.2,Sigmoid函数介绍

  逻辑回归就是在多元线性回归基础上把结果缩放到 0 ~ 1 之间。 $h_{\theta}(x)$ 越接近 1 越是正例，$h_{\theta}(x)$ 越接近 0 越是负例，根据中间 0.5 将数据分为二类。其中$h_{\theta}(x)$ 就是概率函数~

$h_{\theta}(x) = g(\theta^Tx) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^Tx}}$

  我们知道分类器的本质就是要找到分界，所以当我们把 0.5 作为分类边界时，我们要找的就是$\hat{y} = h_{\theta}(x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^Tx}} = 0.5$ ，即 $z = \theta^Tx = 0$ 时，$\theta$ 的解~

求解过程如下：

  什么事情，都要做到知其然，知其所以然，我们知道二分类有个特点就是正例的概率 + 负例的概率 = 1。一个非常简单的试验是只有两种可能结果的试验，比如正面或反面，成功或失败，有缺陷或没有缺陷，病人康复或未康复等等。为方便起见，记这两个可能的结果为 0 和 1，下面的定义就是建立在这类试验基础之上的。 如果随机变量 x 只取 0 和 1 两个值，并且相应的概率为：

• $Pr(x = 1) = p; Pr(x = 0) = 1-p; 0 < p < 1$

  则称随机变量 x 服从参数为 p 的Bernoulli伯努利分布( 0-1分布)，则 x 的概率函数可写：

• $f(x | p) = \begin{cases}p^x(1 - p)^{1-x}, &x = 1,0\\0,& x \neq 1,0\end{cases}$

  逻辑回归二分类任务会把正例的 label 设置为 1，负例的 label 设置为 0，对于上面公式就是 x = 0,1。

2,逻辑回归公式推导

2.1,损失函数推导

  这里我们依然会用到最大似然估计思想，根据若干已知的 X,y(训练集) 找到一组 $\theta$ 使得 X 作为已知条件下 y 发生的概率最大。

$P(y|x;\theta) = \begin{cases}h_{\theta}(x), &y = 1\\1-h_{\theta}(x),& y = 0\end{cases}$

整合到一起（二分类就两种情况：1,0）得到逻辑回归表达式：

$P(y|x;\theta) = (h_{\theta}(x))^{y}(1 - h_{\theta}(x))^{1-y}$

我们假设训练样本相互独立，那么似然函数表达式为:

$L(\theta) = \prod\limits_{i = 1}^nP(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)$

$L(\theta) = \prod\limits_{i=1}^n(h_{\theta}(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1 - h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$

对数转换，自然底数为底

$l(\theta) = \ln{L(\theta)} =\ln( \prod\limits_{i=1}^n({h_{\theta}(x^{(i)}))^{y^{(i)}}}{(1 - h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}})$​

化简，累乘变累加：

$l(\theta) = \ln{L(\theta)} = \sum\limits_{i = 1}^n(y^{(i)}\ln(h_{\theta}(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\ln(1-h_{\theta}(x^{(i)})))$

  总结，得到了逻辑回归的表达式，下一步跟线性回归类似，构建似然函数，然后最大似然估计，最终推导出 $\theta$ 的迭代更新表达式。只不过这里用的不是梯度下降，而是梯度上升，因为这里是最大化似然函数。通常我们一提到损失函数，往往是求最小，这样我们就可以用梯度下降来求解。最终损失函数就是上面公式加负号的形式:

$J(\theta) = -l(\theta) = -\sum\limits_{i = 1}^n[y^{(i)}\ln(h_{\theta}(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\ln(1-h_{\theta}(x^{(i)}))]$

2.2,立体化呈现

from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from sklearn.preprocessing import scale # 数据标准化Z-score

# 1,加载乳腺癌数据
data = datasets.load_breast_cancer()
X, y = scale(data['data'][:, :2]), data['target']

# 2,求出两个维度对应的数据在逻辑回归算法下的最优解
lr = LogisticRegression()
lr.fit(X, y)

# 3,分别把两个维度所对应的参数W1和W2取出来
w1 = lr.coef_[0, 0]
w2 = lr.coef_[0, 1]
print(w1, w2)

# 4,已知w1和w2的情况下，传进来数据的X，返回数据的y_predict
def sigmoid(X, w1, w2):
    z = w1*X[0] + w2*X[1]
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

# 5,传入一份已知数据的X，y，如果已知w1和w2的情况下，计算对应这份数据的Loss损失
def loss_function(X, y, w1, w2):
    loss = 0
    # 遍历数据集中的每一条样本，并且计算每条样本的损失，加到loss身上得到整体的数据集损失
    for x_i, y_i in zip(X, y):
        # 这是计算一条样本的y_predict，即概率
        p = sigmoid(x_i, w1, w2)
        loss += -1*y_i*np.log(p)-(1-y_i)*np.log(1-p)
    return loss

# 6,参数w1和w2取值空间
w1_space = np.linspace(w1-2, w1+2, 100)
w2_space = np.linspace(w2-2, w2+2, 100)
loss1_ = np.array([loss_function(X, y, i, w2) for i in w1_space])
loss2_ = np.array([loss_function(X, y, w1, i) for i in w2_space])

# 7,数据可视化
fig1 = plt.figure(figsize=(12, 9))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(w1_space, loss1_)

plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(w2_space, loss2_)

plt.subplot(2, 2, 3)
w1_grid, w2_grid = np.meshgrid(w1_space, w2_space)
loss_grid = loss_function(X, y, w1_grid, w2_grid)
plt.contour(w1_grid, w2_grid, loss_grid,20)

plt.subplot(2, 2, 4)
plt.contourf(w1_grid, w2_grid, loss_grid,20)
plt.savefig('./图片/4-损失函数可视化.png',dpi = 200)

# 8,3D立体可视化
fig2 = plt.figure(figsize=(12,6))
ax = Axes3D(fig2)
ax.plot_surface(w1_grid, w2_grid, loss_grid,cmap = 'viridis')
plt.xlabel('w1',fontsize = 20)
plt.ylabel('w2',fontsize = 20)
ax.view_init(30,-30)
plt.savefig('./图片/5-损失函数可视化.png',dpi = 200)

3,逻辑回归迭代公式

3.1,函数特性

  逻辑回归参数更新规则和，线性回归一模一样！

$\theta_j^{t + 1} = \theta_j^t - \alpha\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}J(\theta)$

• $\alpha$ 表示学习率

逻辑回归函数：

$h_{\theta}(x) = g(\theta^Tx) = g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

• $z = \theta^Tx$

逻辑回归函数求导时有一个特性，这个特性将在下面的推导中用到，这个特性为：

$\begin{aligned} g'(z) &= \frac{\partial}{\partial z}\frac{1}{1 + e^{-z}} \\\\&= \frac{e^{-z}}{(1 + e^{-z})^2}\\\\& = \frac{1}{(1 + e^{-z})^2}\cdot e^{-z}\\\\&=\frac{1}{1 + e^{-z}} \cdot (1 - \frac{1}{1 + e^{-z}})\\\\&=g(z)\cdot (1 - g(z))\end{aligned}$

回到逻辑回归损失函数求导：

$J(\theta) = -\sum\limits_{i = 1}^n(y^{(i)}\ln(h_{\theta}(x^{i})) + (1-y^{(i)})\ln(1-h_{\theta}(x^{(i)})))$

3.2,求导过程

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial{\theta_j}}J(\theta) &= -\sum\limits_{i = 1}^n(y^{(i)}\frac{1}{h_{\theta}(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}h_{\theta}(x^{i}) + (1-y^{(i)})\frac{1}{1-h_{\theta}(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}(1-h_{\theta}(x^{(i)}))) \\\\&=-\sum\limits_{i = 1}^n(y^{(i)}\frac{1}{h_{\theta}(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}h_{\theta}(x^{(i)}) - (1-y^{(i)})\frac{1}{1-h_{\theta}(x^{(i)})}\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}h_{\theta}(x^{(i)}))\\\\&=-\sum\limits_{i = 1}^n(y^{(i)}\frac{1}{h_{\theta}(x^{(i)})} - (1-y^{(i)})\frac{1}{1-h_{\theta}(x^{(i)})})\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}h_{\theta}(x^{(i)})\\\\&=-\sum\limits_{i = 1}^n(y^{(i)}\frac{1}{h_{\theta}(x^{(i)})} - (1-y^{(i)})\frac{1}{1-h_{\theta}(x^{(i)})})h_{\theta}(x^{(i)})(1-h_{\theta}(x^{(i)}))\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}\theta^Tx\\\\&=-\sum\limits_{i = 1}^n(y^{(i)}(1-h_{\theta}(x^{(i)})) - (1-y^{(i)})h_{\theta}(x^{(i)}))\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}\theta^Tx\\\\&=-\sum\limits_{i = 1}^n(y^{(i)} - h_{\theta}(x^{(i)}))\frac{\partial}{\partial_{\theta_j}}\theta^Tx\\\\&=\sum\limits_{i = 1}^n(h_{\theta}(x^{(i)}) -y^{(i)})x_j^{(i)}\end{aligned}$

求导最终的公式：

$\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}J(\theta) = \sum\limits_{i = 1}^n(h_{\theta}(x^{(i)}) -y^{(i)})x_j^{(i)}$

这里我们发现导函数的形式和多元线性回归一样~

逻辑回归参数迭代更新公式：

$\theta_j^{t+1} = \theta_j^t - \alpha \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}(h_{\theta}(x^{(i)}) -y^{(i)})x_j^{(i)}$

3.3,代码实战

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 1,数据加载
iris = datasets.load_iris()

# 2,数据提取与筛选
X = iris['data']
y = iris['target']
cond = y != 2
X = X[cond]
y = y[cond]

# 3,数据拆分
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)

# 4,模型训练
lr = LogisticRegression()
lr.fit(X_train, y_train)

# 5,模型预测
y_predict = lr.predict(X_test)
print('测试数据保留类别是：',y_test)
print('测试数据算法预测类别是：',y_predict)
print('测试数据算法预测概率是：\n',lr.predict_proba(X_test))

结论：

• 通过数据提取与筛选，创建二分类问题
• 类别的划分，通过概率比较大小完成了

# 线性回归方程
b = lr.intercept_
w = lr.coef_

# 逻辑回归函数
def sigmoid(z):
    return 1/(1 + np.exp(-z))

# y = 1 概率
z = X_test.dot(w.T) + b
p_1 = sigmoid(z)

# y = 0 概率
p_0 = 1 - p_1

# 最终结果
p = np.concatenate([p_0,p_1],axis = 1)
p

结论：

• 线性方程，对应方程 $z$
• sigmoid函数，将线性方程转变为概率
• 自己求解概率和直接使用LogisticRegression结果一样，可知计算流程正确

4,逻辑回归做多分类

4.1,One-Vs-Rest思想

  在上面，我们主要使用逻辑回归解决二分类的问题，那对于多分类的问题，也可以用逻辑回归来解决！

多分类问题：

• 将邮件分为不同类别/标签：工作(y=1)，朋友(y=2)，家庭(y=3)，爱好(y=4)
• 天气分类：晴天(y=1)，多云天(y=2)，下雨天(y=3)，下雪天(y=4)
• 医学图示：没生病(y=1)，感冒(y=2)，流感(y=3)
• ……

上面都是多分类问题。

假设我们要解决一个分类问题，该分类问题有三个类别，分别用△，□ 和 × 表示，每个实例有两个属性，如果把属性 1 作为 X 轴，属性 2 作为 Y 轴，训练集的分布可以表示为下图：

  One-Vs-Rest（ovr）的思想是把一个多分类的问题变成多个二分类的问题。转变的思路就如同方法名称描述的那样，选择其中一个类别为正类（Positive），使其他所有类别为负类（Negative）。比如第一步，我们可以将 △所代表的实例全部视为正类，其他实例全部视为负类，得到的分类器如图：

同理我们把 × 视为正类，其他视为负类，可以得到第二个分类器：

最后，第三个分类器是把 □ 视为正类，其余视为负类：

  对于一个三分类问题，我们最终得到 3 个二元分类器。在预测阶段，每个分类器可以根据测试样本，得到当前类别的概率。即 P(y = i | x; θ)，i = 1, 2, 3。选择计算结果最高的分类器，其所对应类别就可以作为预测结果。

One-Vs-Rest 作为一种常用的二分类拓展方法，其优缺点也十分明显：

• 优点：普适性还比较广，可以应用于能输出值或者概率的分类器，同时效率相对较好，有多少个类别就训练多少个分类器。

• 缺点：很容易造成训练集样本数量的不平衡（Unbalance），尤其在类别较多的情况下，经常容易出现正类样本的数量远远不及负类样本的数量，这样就会造成分类器的偏向性。

4.2,代码实战

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 1,数据加载
iris = datasets.load_iris()

# 2,数据提取
X = iris['data']
y = iris['target']

# 3,数据拆分
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)

# 4,模型训练
lr = LogisticRegression(multi_class = 'ovr')
lr.fit(X_train, y_train)

# 5,模型预测
y_predict = lr.predict(X_test)
print('测试数据保留类别是：',y_test)
print('测试数据算法预测类别是：',y_predict)
print('测试数据算法预测概率是：\n',lr.predict_proba(X_test))

结论：

• 通过数据提取，创建三分类问题
• 类别的划分，通过概率比较大小完成了

# 线性回归方程，3个方程
b = lr.intercept_
w = lr.coef_

# 逻辑回归函数
def sigmoid(z):
    return 1/(1 + np.exp(-z))

# 计算三个方程的概率
z = X_test.dot(w.T) + b
p = sigmoid(z)

# 标准化处理，概率求和为1
p = p/p.sum(axis = 1).reshape(-1,1)
p

结论：

• 线性方程，对应方程 $z$ ，此时对应三个方程
• sigmoid函数，将线性方程转变为概率，并进行标准化处理
• 自己求解概率和直接使用LogisticRegression结果一样

5,多分类Softmax回归

5.1,多项分布指数分布族形式

  Softmax 回归是另一种做多分类的算法。从名字中大家是不是可以联想到广义线性回归，Softmax 回归是假设多项分布的，多项分布可以理解为二项分布的扩展。投硬币是二项分布，掷骰子是多项分布。

  我们知道，对于伯努利分布，我们采用 Logistic 回归建模。那么我们应该如何处理多分类问题？对于这种多项分布我们使用 softmax 回归建模。

y 有多个可能的分类： $y \in \{1,2,3,……,k\}$，

每种分类对应的概率： $\phi_1,\phi_2……\phi_k$ ，由于 $\sum\limits_{i = 1}^k\phi_i = 1$ ，所以一般用 k-1个参数$\phi_1,\phi_2……\phi_{k-1}$ 。其中：

• $p(y = i;\phi) = \phi_i$
• $p(y = k;\phi) = 1 - \sum\limits_{i = 1}^{k -1}\phi_i$ 。

为了将多项分布表达为指数族分布，做一下工作：

• 定义 ，$T(y) \in R^{k-1}$它不再是一个数而是一个变量

  

• 引进指示函数：$I\{\cdot\}$为$I\{True\} = 1$，$I\{False\} = 0$

  $E(T(y)_i) = p(y = i) = \phi_i$

得到它的指数分布族形式：

$\begin{aligned}p(y;\phi) &= \phi_1^{I\{y = 1\}}\phi_2^{I\{y = 2\}}...\phi_k^{I\{y = k\}}\\\\&=\phi_1^{I\{y = 1\}}\phi_2^{I\{y = 2\}}...\phi_k^{1 - \sum\limits_{i=1}^{k-1}I\{y = i\}}\\\\&=\phi_1^{(T(y))_1}\phi_2^{(T(y))_2}...\phi_k^{1 - \sum\limits_{i = 1}^{k-1}(T(y))_i}\\\\&=\exp((T(y))_1\log(\phi_1) + (T(y))_2\log(\phi_2)...+(1 - \sum\limits_{i = 1}^{k-1}(T(y))_i)\log(\phi_k))\\\\&=\exp((T(y))_1\log\frac{\phi_1}{\phi_k} + (T(y))_2\log\frac{\phi_2}{\phi_k} + ... + (T(y))_{k-1}\log\frac {\phi_{k-1}}{\phi_k} + \log(\phi_k))\end{aligned}$

指数分布族标准表达式如下：

$p(y;\eta) = b(y)\exp(\eta T(y) - \alpha(\eta))$

得到对应模型参数：

$ \eta = \left{\begin{aligned} &\log(\phi_1/\phi_k) \ &\log(\phi_2/\phi_k) \ &…\&\log(\phi_{k-1}/\phi_k) \end{aligned} \right.$

$\alpha(\eta) = -\log(\phi_k)$

$b(y) = 1$

5.2,广义线性模型推导Softmax回归

  证明了多项分布属于指数分布族后，接下来求取由它推导出的概率函数Softmax

• $\eta_i = \log\frac{\phi_i}{\phi_k}$   —>   $e^{\eta_i} = \frac{\phi_i}{\phi_k}$   —>   $\phi_ke^{\eta_i} = \phi_i$

• $\phi_k\sum\limits_{i = 1}^k e^{\eta_i} = \sum\limits_{i = 1}^k = 1$

• $\phi_k = \frac{1}{\sum\limits_{i = 1}^ke^{\eta_i}}$

• $\phi_i = \frac{e^{\eta_i}}{\sum\limits_{j = 1}^ke^{\eta_j}}$

上面这个函数，就叫做Softmax函数。

引用广义线性模型的假设3，即 $\eta$ 是 x 的线性函数，带入Softmax函数可以得到：

$\begin{aligned}p(y = i|x;\theta) &= \phi_i \\\\ &=\frac{e^{\eta_i}}{\sum\limits_{j = 1}^ke^{\eta_j}} \\\\&=\frac{e^{\theta_i^Tx}}{\sum\limits_{j = 1}^ke^{\theta_j^Tx}}\end{aligned}$

这个模型被应用到y = {1, 2, …, k}就称作Softmax回归，是逻辑回归的推广。最终可以得到它的假设函数 $h_{\theta}(x)$：

$ h_{\theta}(x) = \left{ \begin{aligned} &\frac{e^{\theta_1^Tx}}{\sum\limits_{j = 1}^ke^{\theta_j^Tx}} , y = 1\ &\frac{e^{\theta_2^Tx}}{\sum\limits_{j = 1}^ke^{\theta_j^Tx}} , y = 2\ &…\&\frac{e^{\theta_k^Tx}}{\sum\limits_{j = 1}^ke^{\theta_j^Tx}}, y = k \end{aligned} \right.$

举例说明：

5.3,代码实战

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 1,数据加载
iris = datasets.load_iris()

# 2,数据提取
X = iris['data']
y = iris['target']

# 3,数据拆分
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y)

# 4,模型训练，使用multinomial分类器，表示多分类
lr = LogisticRegression(multi_class = 'multinomial',max_iter=5000)
lr.fit(X_train, y_train)

# 5,模型预测
y_predict = lr.predict(X_test)
print('测试数据保留类别是：',y_test)
print('测试数据算法预测类别是：',y_predict)
print('测试数据算法预测概率是：\n',lr.predict_proba(X_test))

结论：

• 通过数据提取，创建三分类问题
• 参数multi_class设置成multinomial表示多分类，使用交叉熵作为损失函数
• 类别的划分，通过概率比较大小完成了

# 线性回归方程，3个方程
b = lr.intercept_
w = lr.coef_

# softmax函数
def softmax(z):
    return np.exp(z)/np.exp(z).sum(axis = 1).reshape(-1,1)

# 计算三个方程的概率
z = X_test.dot(w.T) + b
p = softmax(z)
p

结论：

• 线性方程，对应方程 $z$ ，多分类，此时对应三个方程
• softmax函数，将线性方程转变为概率
• 自己求解概率和直接使用LogisticRegression结果一样

6,逻辑回归与Softmax回归对比

6.1,逻辑回归是Softmax回归特例证明

逻辑回归可以看成是 Softmax 回归的特例，当k = 2 时，softmax 回归退化为逻辑回归，softmax 回归的假设函数为：

$h_{\theta}(x) = \frac{1}{e^{\theta_1^Tx} + e^{\theta_2^Tx}} \Bigg[\begin{aligned}e^{\theta_1^Tx}\\e^{\theta_2^Tx} \end{aligned}\Bigg]$

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令$\psi = \theta_1$并且从两个参数向量中都减去向量 $\theta_1$ ，得到:

$h_{\theta}(x) = \frac{1}{e^{\vec{0}^Tx}   + e^{(\theta_2 - \theta_1)^Tx}} \Bigg[\begin{aligned}&e^{\vec{0}^Tx}\\&e^{(\theta_2 - \theta_1)^Tx} \end{aligned}\Bigg]$

展开：

$\frac{e^{\vec{0}^Tx} }{e^{\vec{0}^Tx} + e^{(\theta_2 - \theta_1)^Tx}}$ —> $\frac{1}{1 + e^{(\theta_2 - \theta_1)^Tx}}$

$\frac{ e^{(\theta_2 - \theta_1)^Tx} }{e^{\vec{0}^Tx} + e^{(\theta_2 - \theta_1)^Tx}}$ —> $\frac{ e^{(\theta_2 - \theta_1)^Tx} }{1 + e^{(\theta_2 - \theta_1)^Tx}}$